Resumen El propósito del artículo se centra en analizar las actuaciones de los estudiantes cuando se enfrentan a la resolución de un ambiente de aprendizaje desde escenarios de investigación reales, para el desarrollo de competencias matemáticas desde la educación matemática crítica. La investigación se desarrolló bajo un estudio cualitativo, con un corte comprensivo, donde la población la componen estudiantes del grado noveno de una Institución Educativa colombiana. El ambiente de aprendizaje se relaciona con el servicio público de acueducto, alcantarillado y aseo del municipio de Campoalegre, Huila, el cual permite establecer una reflexión aproximada a la manera en que las matemáticas operan como parte de la sociedad, contribuyendo a la consolidación de un estudiante crítico y reflexivo. Se concluye cómo los ambientes de aprendizaje permiten articular didácticamente el desarrollo de competencias matemáticas en el aula de clase, desde situaciones reales del contexto de los estudiantes, potenciando una ciudadanía crítica frente a la realidad descrita en el ambiente de aprendizaje. Estas situaciones develan cómo la experiencia y el trabajo colaborativo, se entrelazan para asumir juicios que se tejen desde las subjetividades de la sociedad en la cual se encuentran inmersos los estudiantes.

Abstract This article focuses on the analysis of the students’ performances when they face with the resolution of a learning environment from real research scenarios in order to develop mathematical competences from critical mathematical education. The research project was developed under a qualitative study, with a comprehensive cut, where the population is composed by 9th grade students of a Colombian educational Institution. The learning environment is related to the public service of aqueduct, sewerage and cleanliness in the town of Campoalegre, State of Huila, Colombia, which allows establishing an approximate reflection on the way mathematics operates as a part of society, contributing to the consolidation of a critical and reflective student. From results, it is concluded how the learning environments allow articulating didactically the development of mathematical competences in the classroom, from real situations in the students' context, promoting a critical citizenship in front of the reality described in the learning environments. Then, they reveal how experience and collaborative work are intertwined to assume judgments that are woven from their subjectivities of the society in which they are immersed.

Resumen En el presente artículo se analiza la forma cómo aprenden los estudiantes el concepto de función lineal a partir de una ingeniería didáctica, en la cual desarrollarán tareas de modelación de situaciones en contexto, El propósito principal es potenciar el aprendizaje del concepto de función mediante la modelación de situaciones, lo cual se logra a través de la confrontación entre las concepciones a priori y a posteriori de los estudiantes en la fase 4 de la ingeniería. La metodología empleada, los instrumentos utilizados y los objetivos trazados hacen de esta una investigación cualitativa dado que no se pretende evaluar modelos, ni validar hipótesis o teorías preconcebidas para analizarlas por métodos matemáticos. Entre los resultados obtenidos se encontró que las dificultades relacionadas con el aprendizaje del concepto de función lineal están asociadas con el traslado a través de los diferentes registros semióticos de representación que esta posee, especialmente el traslado a los registros algebraico y gráfico. Se concluyó que efectivamente es posible alcanzar un aprendizaje del concepto de función en el cual los estudiantes desarrollen el pensamiento variacional mediante el reconocimiento, percepción y caracterización de la variación y el cambio en diferentes contextos, para modelarlo, describirlo y representarlo utilizando diferentes registros semióticos, como lo plantean los lineamientos curriculares propuestos por el Ministerio de Educación Nacional.

Abstract This article analyzes the way students learn the concept of linear function from a didactic engineering, in which they will develop tasks of modeling situations in context. The main purpose is to enhance the learning of the concept of function through modeling Of situations, which is achieved through the confrontation between a priori and a posteriori conceptions of students in phase 4 of engineering. The methodology used, the instruments used and the objectives drawn make this a qualitative research given that it is not intended to evaluate models, nor validate hypotheses or preconceived theories to analyze them by mathematical methods. Among the results obtained, it was found that the difficulties related to the learning of the concept of linear function are associated with the transfer through the different semiotic registers of representation that it possesses, especially the transfer to the algebraic and graphical registers. It was concluded that it is indeed possible to achieve a learning of the concept of function in which students develop variational thinking through the recognition, perception and characterization of variation and change in different contexts, to model it, describe it and represent it using different semiotic registers, As proposed by the curriculum guidelines proposed by the Ministry of National Education.

Resumo Neste artigo, a nossa forma de analisar como os alunos aprendem o conceito de função linear de uma engenharia didática, que irá desenvolver tarefas de situações de modelagem em contexto, o principal objetivo é promover a aprendizagem do conceito de função de modelagem de situações, o que é conseguido através do confronto entre concepções a priori e a posteriori dos alunos na fase 4 da engenharia. A metodologia utilizada, os instrumentos utilizados e os objetivos definidos fazem desta uma pesquisa qualitativa, uma vez que não se pretende avaliar modelos ou validar hipóteses ou teorias preconcebidas para analisá-las por métodos matemáticos. Entre os resultados, descobriu que as dificuldades associadas com o aprendizado do conceito de função linear estão associados com o movimento através dos diferentes registros semióticos de representação que este tem, especialmente a mudança para o algébrica e registros gráficos. Concluiu-se que é realmente possível para alcançar a aprendizagem conceito de função em que os alunos desenvolvem o pensamento variacional através do reconhecimento, a percepção e caracterização de variação e mudança em diferentes contextos, para moldá-la, descrever e representar usando diferentes registros semióticos, como proposto pelas diretrizes curriculares propostas pelo Ministério da Educação Nacional.

Resumen En este artículo se propone una tarea que ayude en la construcción del concepto de área, en estudiantes de primer semestre de tecnología en topografía de la Universidad del Quindío. El diseño didáctico se realizó con base en el análisis de contenido del concepto de área a nivel universitario, tomando en cuenta los siguientes organizadores del currículo: La estructura conceptual, los sistemas de representación y la fenomenología. Se analizó una tarea de diagnóstico en la cual los estudiantes deben realizar el diseño de la figura para ubicar un jardín en un centro comercial. El área en la solución de la tarea no se expresa mediante un valor numérico ni con unidades de medida; el propósito es establecer una comparación del área de dos superficies cuadradas por medio de la razón entre ellas. Los resultados indican que se diseñó una tarea significativa para los estudiantes, ya que es una situación problema del concepto de área en el contexto topográfico. Los estudiantes deben emplear los conocimientos previos y la tarea representa un desafío al resolverla, ya que la falta de medidas en la representación gráfica obligan al estudiante a desarrollar un nivel de abstracción más complejo que la simple aplicación de un algoritmo.

Abstract This article proposes a task to help first semester students of technology in topography at Quindío University to build the concept of area. The didactic design was based on the content analysis of area concept at university level, taking into account the following curriculum organizers: conceptual structure, representation systems and phenomenology. A diagnostic task was analyzed in which the students had to realize the design of the figure to locate a garden into a mall. The area of the task is not expressed by a numerical value or units of measurement. The aim is to establish a comparison between two squared areas by means of the ratio between them. The results show that a meaningful task was designed for students since it is a problem solving of the concept of area in the topographical context. The students must apply their previous knowledge to solve this challenging task because of the lack of measurements in the graphical representation which forces them to develop a more complex abstract level than to apply a simple algorithm.

Resumen Este artículo tiene como propósito presentar una investigación a partir de un proceso de formación de profesores en educación matemática que atienden poblaciones con deficit cognitivo (Síndrome Down), limitación auditiva o baja visión, y sordera o hipoacúsicos. La formación de profesores se asume teóricamente desde el enfoque ontosemiótico (Godino, Batanero y Font, 2007); las trayectorias de aprendizaje (Clements, y Sarama, 2009 y Simon ,1995); los registros de representación semiótica (Duval, 2004); las situaciones didácticas (Brousseau, 2004), y el conocimiento didáctico del contenido matemático de poblaciones en contextos culturales (Shulman, 1986). La metodología es cualitativa interpretativa, (Medina y Castillo, 2003), porque es un método para observar comportamiento de los profesores y estudiantes, el estudio se realizó con un grupo de 25 profesionales y docentes de apoyo, mediante un proceso de investigación-acción, para lo cual se diseñó un plan, actuación, observación y reflexión de la investigación. Los resultados avizoran de una parte, el grado de motivación generada en los profesionales que atienden estas poblaciones y de otra ofrecerles herramientas para que ellos puedan facilitar el aprendizaje a estos estudiantes y lograr de esta manera una educación matemática en y para la diversidad como puerta de entrada a una educación inclusiva.

Abstract This communication aims to present a research based on a process of teacher training in mathematics education that addresses populations with cognitive impairment (Down Syndrome), auditory limitation or low vision, and deaf or hard of hearing. Teacher training is theoretically assumed from the ontosemiotic approach (Godino, Batanero and Font, 2007); The Learning Paths (Clements and Sarama, 2009 and Simon, 1995); The registers of semiotic representation (Duval, 2004); The didactic situations (Brousseau, 2004), and the didactic knowledge of the mathematical content of populations in cultural contexts (Shulman, 1986). The methodology is qualitative interpretive, (Medina and Castillo, 2003), because it is a method to observe behavior of teachers and students, the study was conducted with a group of 25 professionals and support teachers, through a process of action research, For which a plan, action, observation and reflection of the research was designed. The results provide an insight into the degree of motivation generated in the professionals who care for these populations, and on the other hand, offer them tools so that they can facilitate the learning of these students and thus achieve a mathematical education in and for diversity as a gateway entry to inclusive education.

Resumo O objetivo deste artigo é apresentar uma pesquisa baseada em um processo de formação de professores em educação matemática que sirva populações com déficit cognitivo (Síndrome de Down), limitação auditiva ou baixa visão e surdez ou perda auditiva. O treinamento do professor é assumido teoricamente a partir da abordagem ontosemiótica (Godino, Batanero e Font, 2007); as trajetórias de aprendizagem (Clements e Sarama, 2009 e Simon, 1995); os registros da representação semiótica (Duval, 2004); as situações didáticas (Brousseau, 2004) e o conhecimento didático do conteúdo matemático das populações em contextos culturais (Shulman, 1986). A metodologia é interpretativa qualitativa, (Medina e Castillo, 2003), porque é um método para observar o comportamento dos professores e alunos, o estudo foi realizado com um grupo de 25 profissionais e professores de apoio, através de um processo de pesquisa-ação, para o qual foi planejado um plano, ação, observação e reflexão da pesquisa. Os resultados mostram, por um lado, o grau de motivação gerado pelos profissionais que servem essas populações e, por outro lado, oferecem-lhes ferramentas para que possam facilitar o aprendizado para esses alunos e, assim, conseguir uma educação matemática na diversidade e como uma porta entrada para uma educação inclusiva.

Resumen Este estudio hace parte de una investigación realizada con estudiantes de primer semestre de Ingeniería de Sistemas de la Universidad del Quindío en un curso de geometría analítica, con el propósito de analizar cómo llegan a la comprensión/ construcción del concepto de parábola como cónica, desde las dimensiones histórico-epistemológicas, didáctica y cognitiva. El estudio se fundamenta en el marco teórico de las situaciones didácticas de Brousseau, que considera las relaciones entre la triada de saber, el estudiante y el docente, donde se asumen compromisos para garantizar el estudio y comprensión de un concepto. Así el docente hace la transposición de los conceptos teóricos y tiene como metodología de investigación la ingeniería didáctica de Chevallard. Para ello se aplicaron instrumentos como: cuestionarios, entrevistas semiestructuradas, videograbaciones y la asistencia de entornos informáticos apoyados en el software Geogebra. Los resultados permiten concluir que un estudio histórico-epistemológico y didáctico y la utilización de secuencias didáctica de enseñanza mediada por entornos informáticos generan un desarrollo progresivo del estudiante en el proceso cognitivo de comprensión del concepto de parábola.

Resumo Este estudo faz parte de uma investigação realizada com estudantes de primeiro semestre de Engenharia de Sistemas da Universidade do Quindío num curso de geometria analítica, com o propósito de analisar como chegam à compreensão/construção do conceito de parábola como cônica, desde as dimensões histórico-epistemológicas, didática e cognitiva. O estudo fundamenta-se no marco teórico das situações didáticas de Brousseau, que considera as relações entre a tríada de saber, o estudante e o docente, onde se assumem compromissos para garantir o estudo e entendimento de um conceito. Assim o docente faz a transposição dos conceitos teóricos e tem como metodologia de pesquisa a engenharia didática de Chevallard. Para isso se aplicaram instrumentos como: questionários, entrevistas semiestruturadas, vídeos e a assistência de meios informáticos apoiados no software Geogebra. Os resultados permitem concluir que um estudo histórico-epistemológico e didático e a utilização de sequências didática de ensino mediado por meios informáticos geram um desenvolvimento progressivo do estudante no processo cognitivo de compreensão do conceito de parábola.

Abstract This study is part of a research conducted with freshmen systems engineering students at the University of Quindío in an analytic geometry course, in order to analyze how they get to comprehend and construct the concept of the parabola as cone at historical, epistemological, didactic and cognitive levels. The study is based on the theoretical framework of the didactical situations developed by Brousseau who considers the relations in the triad of knowledge, student and teacher, where commitments ensuring the analysis and comprehension of a concept are made. Thus, the teacher makes a transposition of theoretical concepts using Chevallard's didactic engineering as the research method. To this end, several instruments were implemented such as: surveys, semi-structured interviews, video recordings and the support of IT environments backed up by the GeoGebra application. The results enable to conclude that a historical, epistemological and didactic study as well as the use of didactic teaching sequences ruled by IT environments, promote a progressive development of the students when understanding the concept of the parabola.

Résumé Cette étude fait partie d'une recherche réalisée auprès des étudiants de première année d'Ingénierie des systèmes à l'Université du Quindío dans un cours de géométrie analytique, afin d'analyser comment ils arrivent à comprendre et à construire le concept de parabole en tant que conique depuis les perspectives historiques et épistémologiques; didactique et cognitive. L'étude repose sur le cadre théorique des situations didactiques de Brousseau, qui considère les relations entre le triangle didactique: le savoir, l'élève et l'enseignant; où l'on prend un engagement assurant l'analyse et la compréhension d'un concept. Ainsi, l'enseignant transpose les concepts théoriques en utilisant l'ingénierie didactique de Chevallard comme méthode de recherche. Pour ce faire, on a mis en œuvre des instruments tels que: des enquêtes, des entretiens semi-dirigés, des enregistrements vidéo et l'appui d'environnements informatiques basés sur le logiciel GeoGebra. Les résultats permettent de conclure que l'étude historique, épistémologique et didactique, ainsi que l'utilisation de séquences didactiques d'enseignement régies par des environnements informatiques, produisent un développement progressif de l'étudiant dans le processus cognitif de compréhension du concept de parabole.

Resumen En el artículo se presenta un análisis epistemológico sobre la evolución histórica del objeto Grupo según la visión de Piaget y García. En esta dirección, se describen unos mecanismos en el proceso evolutivo de dicho objeto matemático que parten de la premisa de que el conocimiento se produce por la interacción del individuo con su medio y de acuerdo con unas estructuras que forman parte del individuo. Así, según el análisis de la evolución del objeto Grupo, emergen los significados que este adquirió a lo largo de su evolución histórica hasta llegar al significado de Grupo como Grupo de Galois del polinomio -más tarde como Grupo Abstracto-. Como resultado del análisis epistemológico del objeto matemático, se presentan en forma general algunas de las problemáticas que dieron origen a los significados de la estructura algebraica en mención. El estudio de los significados se realizó desde el enfoque ontosemiótico del conocimiento y la instrucción matemática, y es de importancia tanto para docentes y estudiosos de Teoría de Grupos como para estudiantes de formación matemática -licenciados en matemáticas y matemáticos-. La metodología para el estudio de los significados está determinada por las herramientas teóricas propias del enfoque ontosemiótico.

Resumo No artigo apresenta-se uma análise epistemológica sobre a evolução histórica do objeto Grupo segundo a visão de Piaget e García. Nesta direção, descrevem-se uns mecanismos no processo evolutivo de dito objeto matemático que partem da premissa de que o conhecimento se produz pela interação do indivíduo com seu médio e de acordo com umas estruturas que fazem parte do indivíduo. Assim, segundo a análise da evolução do objeto Grupo, emergem os significados que este adquiriu ao longo de sua evolução histórica até chegar ao significado de Grupo como Grupo de Galois do polinômio -mais tarde como Grupo Abstrato-. Como resultado da análise epistemológico do objeto matemático, se apresentam em forma geral algumas das problemáticas que deram origem aos significados da estrutura algébrica em menção. O estudo dos significados realizou-se desde o enfoque ontosemiótico do conhecimento e a instrução matemática, e é de importância tanto para docentes e estudiosos de Teoria de Grupos como para estudantes de formação matemática-licenciados em matemática e matemáticos-. A metodologia para o estudo dos significados está determinada pelas ferramentas teóricas próprias do enfoque ontosemiótico.

Abstract This article presents an epistemological analysis on the historic evolution of the object Group in accordance with Piaget and García perspective. In this sense, some mechanisms in the evolution process of this mathematical object are described. They are based on the premise that knowledge is produced by the interaction of the individual with his/her environment and it is ruled by some structures that are part of the individual. Thus, according to the evolution analysis of the object Group, meanings attributed to this notion appeared throughout its evolution history until finding the meaning of Group as in Galois Theory - Later on as Abstract group -. As a result of the epistemological analysis of the mathematical object, this text presents in general form some of the issues that gave rise to the meanings of the algebraic structure in question. The research of the meanings was carried out on the basis of the Onto-semiotic approach to mathematics cognition, given that it is important, both for teachers and Group theory researchers and for mathematics students - graduates in mathematics and mathematicians -. The method used for the study of the meanings is determined by theoretical tools belonging to the onto-semiotic approach.

Résumé Dans Particle, on présente une analyse épistémologique sur l'évolution historique de l'objet Groupe dans la perspective de Piaget et García. Dans ce sens, on décrit des mécanismes dans le processus évolutif de cet objet mathématique qui partent du principe que la connaissance est produite par l'interaction de l'individu avec son environnement et en fonction de certaines structures qui font partie de l'individu. Ainsi, selon l'analyse de l'évolution de l'objet Groupe, des significations y attribuées emergent tout au long de son evolution historique jusqu'á la signification de Groupe comme dans le Groupe de Galois - ultérieurement comme Groupe Abstrait -. À l'issue de cette analyse épistémologique de l'objet mathématique, on présente de manière générale quelques problématiques qui ont donné naissance aux significations de la structure algébrique mentionnée. L'étude des significations a été menee à partir de l'approche ontologique et sémiotique de l'apprentissage et de l'enseignement mathématique étant donné qu'il est important tant pour les enseignants et les chercheurs de la Théorie des groupes que pour les étudiants en mathématiques - des diplômés en mathématiques et des mathématiciens -. La méthode de l'étude des significations est fondee sur les outils théoriques appartenant à l'approche onto-sémiotique.

Resumen Este artículo se ubica en la línea de educación estadística en lo que se refiere al conocimiento profesional del profesor; se presentan los elementos de un marco teórico que posibilita indagar sobre los conocimientos que ha de poseer el profesor, destinados a la enseñanza de la probabilidad en el nivel de educación pre-universitario. mediante un análisis de contenido realizado sobre diversas fuentes textuales se busca establecer tales conocimientos con el fin de orientar el concepto de probabilidad dentro del currículo de matemáticas en el mencionado nivel educativo; asimismo, se describen algunos modelos de conocimientos con génesis en el paradigma de Shulman direccionados a la enseñanza de las matemáticas y de la estadísticas, los cuales en determinados contextos podrían adaptarse para orientar el aprendizaje de la probabilidad. Finalmente, se ofrece un breve programa investigativo asociado con la didáctica de la probabilidad.

Abstract This article is classified in the research field of statistical education as far as the professional knowledge of the teacher is concerned; the elements of a theoretical firamework that makes it possible to inquire about the knowledge that the teacher possess, oriented to the teaching of probability at the level of pre-university education are presented by means of a content analysis carried out on various textual sources in order to establish such skills required by the teacher to guide the concept of probability within the mathematics curriculum in the aforementioned educational level; likewise, somo models of knowledge genesis are described under the paradigm of Shulman addressed to the teaching of mathematics and statistics, whit in certain contexts could be adapted to guie the learning of probability. Finally a brief overview research associated whit the didactic of probability is offered.

ABSTRACT Objective To propose a vector-host mathematical model for adjusting the force of infection with dengue in a variable population with logistic growth and a mosquito life cycle with periodic oviposition rate, considering immunity to a serotype. Methods The proposed mathematical model is represented by eight differential equations that calculate the force of infection through the scale-free network method. Results A simulation of the mathematical model solved by an algorithm implemented in MATLAB based on data obtained from the literature was obtained. The growth of the force of dengue infection over time can be observed in the simulation, and it varies as some parameters change. Conclusions The force of infection increases over time, that is, the rate of new cases increases, which proves the need for prevention among inhabitants of high-risk areas through the use of metallic fabrics, mosquito nets, repellents, appropriate clothing, among other measures. Chemical control against the vector, such as larvicides and adulticides, as well as the elimination of breeding places to interrupt their life cycle are strongly advised.

RESUMEN Objetivo Plantear un modelo matemático hospedero vector para el ajuste de la fuerza de infección del dengue en una población variable con crecimiento logístico y ciclo de vida del mosquito con tasa de ovoposición periódica, considerando inmunidad a un serotipo. Métodos El modelo matemático propuesto está representado por ocho ecuaciones diferenciales a las que se les calcula la fuerza de infección por el método de las redes libres de escala. Resultados Se presenta una simulación del modelo matemático resuelto mediante un algoritmo implementado en el software MATLAB con datos obtenidos de la literatura. En la simulación se puede observar el crecimiento de la fuerza de infección del dengue a través del tiempo, donde esta varía de acuerdo al cambio de algunos parámetros. Conclusiones La fuerza de la infección aumenta en el tiempo, es decir, la tasa de nuevos casos crece, mostrando la necesidad de prevención en las personas, mediante el uso de telas metálicas, mosquiteros, repelentes, ropa adecuada entre otras medidas; control químico como larvicidas y adulticidas contra el vector, como también la eliminación de criaderos que interrumpan su ciclo de vida.

RESUMEN Objetivo Plantear un modelo matemático hospedero vector para el ajuste de la fuerza de infección del dengue en una población variable con crecimiento logístico y ciclo de vida del mosquito con tasa de ovoposición periódica, considerando inmunidad a un serotipo. Métodos El modelo matemático propuesto está representado por ocho ecuaciones diferenciales a las que se les calcula la fuerza de infección por el método de las redes libres de escala. Resultados Se presenta una simulación del modelo matemático resuelto mediante un algoritmo implementado en el software MATLAB con datos obtenidos de la literatura. En la simulación se puede observar el crecimiento de la fuerza de infección del dengue a través del tiempo, donde esta varía de acuerdo al cambio de algunos parámetros. Conclusiones La fuerza de la infección aumenta en el tiempo, es decir, la tasa de nuevos casos crece, mostrando la necesidad de prevención en las personas, mediante el uso de telas metálicas, mosquiteros, repelentes, ropa adecuada entre otras medidas; control químico como larvicidas y adulticidas contra el vector, como también la eliminación de criaderos que interrumpan su ciclo de vida.

ABSTRACT Objective To propose a vector-host mathematical model for adjusting the force of infection with dengue in a variable population with logistic growth and a mosquito life cycle with periodic oviposition rate, considering immunity to a serotype. Methods The proposed mathematical model is represented by eight differential equations that calculate the force of infection through the scale-free network method. Results A simulation of the mathematical model solved by an algorithm implemented in MATLAB based on data obtained from the literature was obtained. The growth of the force of dengue infection over time can be observed in the simulation, and it varies as some parameters change. Conclusions The force of infection increases over time, that is, the rate of new cases increases, which proves the need for prevention among inhabitants of high-risk areas through the use of metallic fabrics, mosquito nets, repellents, appropriate clothing, among other measures. Chemical control against the vector, such as larvicides and adulticides, as well as the elimination of breeding places to interrupt their life cycle are strongly advised.